1º Bimestre

Definição de Conjunto

Conjunto é uma reunião de elementos, podemos dizer que essa definição é bem primitiva, mas a partir dessa ideia podemos relacionar outras situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos.
Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø.
Universo: possui todos os elementos, pode ser representado pela letra maiúscula U.

Representando conjuntos

A representação de um conjunto depende de determinadas condições:

Exemplo 1
Condição: O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze.
Representação através de seus elementos.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

Representação pela propriedade de seus elementos.
A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”.
x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15.

Exemplo 2
Condição: O conjunto dos números Naturais ímpares menores que vinte.
Elementos
A = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Propriedade dos elementos
A = {x Є N / x é impar e x < 20}
x pertence aos naturais tal que x é impar menor que 20.

Outra forma de representação de conjuntos de elementos é a utilização de diagramas. Observe os conjuntos A e B.
A = {x / 2 < x ≤ 12} e B = {x / 4 < x < 8}

Símbolos Lógicos

Os símbolos foram surgindo e sendo introduzidos com a evolução da forma de pensar e raciocinar do homem.

Símbolos lógicos matemáticos
^ e
v ou
→ se, então
↔ se e somente se
/ tal que
existe
existe um e somente um

para todo

Є pertence

  não pertence

{ } conjunto vazio

conjunto vazio
∩ intersecção 
U  união
está contido
contém
não está contido 
N números naturais
Z números inteiros
Q números racionais
I números irracionais
R números reais

Notações Importantes sobre conjunto

Conjunto unitário e conjunto vazio

Por exemplo:
A = { x | x é par e 4 < x < 8 }  ou  A = {6}
B = { x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro }  ou  B = {3}

Os dois conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois possuem apenas um elemento.

Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento, esse tipo de conjunto é chamado de conjunto vazio.
Indicamos um conjunto vazio por {  } ou   , nunca por { }.

►Igualdade de conjuntos

Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.

►Relação entre dois conjuntos.

Quando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos os símbolos de  pertence e    não pertence .
Por exemplo:
Dado o conjunto dos números naturais o elemento 5  N  e  -8  N.

Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de  está contido e    não está contido .

Por Exemplo:
{1,2,3}  {1,2,3,4,5,6}
O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N  Z e o conjunto dos inteiros não está contido dentro do conjunto dos naturais  Z    N. 

♦ Todo conjunto está contido em si mesmo. 
♦ O conjunto vazio está contido em todo conjunto.

 Operações com conjuntos

1 – União ( U  )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A U B = { x; x ЄA ou x Є B}.
Exemplo: {0,1,3} U { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}.

Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

2 – Interseção (∩ )

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção

A ∩ B  = {x; x Є A e x Є B}.

Exemplo 1:
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

Exemplos:

{0,2,4,5}  ∩ { 4,6,7} = {4} – pode concluir também que A B.
{-3, -4, -5, -6} ∩ {-7, -8, -9} =  

Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

3 - Diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1:
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é:
A – B = {1,2}

Exemplos: 
{ 0,7} – {0,7,3} = { }.
{1,2,3,4,5} – {1,2,3} = {4,5}.

 4 – Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que BA ,   a diferença A – B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A – B.
Exemplo 4:
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é:
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: A – B = A B = {1,2,3,4}.

6 – Partição de um conjunto
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A  seja n(A) e o número de elementos de B  seja n(B). Representando o número de elementos da interseção A ∩ B  por n(A ∩ B ) e o número de elementos da união A U B por n(A U B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A U B) = n(A) + n(B) – ( A ∩ B ) 

7 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

 O conceito de número foi voluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

 7.1 – NÚMEROS NATURAIS

 Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. A representação matemática deste conjunto é: N = { 1, 2, 3, 4, 5, … }

 7.2 - NÚMEROS INTEIROS

 Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3 – 4 era impossível.

  • A ideia do número negativo, aparece na   Índia,associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.
  • A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

A representação matemática deste conjunto é: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

 7.3 - NÚMEROS RACIONAIS

 Entretanto…surgiu outro tipo de problema: “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fraccionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.            A representação matemática deste conjunto é: Q = Z  U{ números fraccionários }

7.4 – NUMEROS IRRACIONAIS

Todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero, são chamados de números irracionais. São exemplos de números irracionais:   √2 , √3 , √5, √7, pi,  entre outros, são valores que representam números irracionais.
 

7.5 -  NÚMEROS REAIS

 Os pitagóricos ao aplicarem o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida. A representação matemática deste conjunto é: R = Q U { números irracionais }

Conjuntos            (Lista 1)

 EXERCÍCIOS  DE  FIXAÇÃO.

 01. Sendo A= {1;2;3;4}. B= {3;4;5;6} e C={5;6;7;8}, então (A-B) ∩ C, é qual?

 02. Dados A= {1, 2, 3, 4}, B= {1, 3, 5}, C= {2, 4, 6} e D={3, 4}, determine:

 a) (A ∩  B)  U C =

 b) (B U D)  ∩ A =

 c) (A U D) – (B UC) =

 d) (A ∩ C) – (B U D) =

Conjuntos – lista 2

01. (Dante) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respondessem sim ou não: gosta de musica? gosta de esportes? Responderam sim a primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim µa segunda pergunta; 25 responderam sim a ambas; e 40 não a ambas. Quantos jovens foram entrevistados? 

 02. (Dante) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

 03. (Dante) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles.

a) Quantos alunos leram Iracema?

b) Quantos alunos leram só Helena?

c) Qual é o número de alunos nessa classe?

 04. (UNIFAP) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. O percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças é de:

(A) 14%

(B) 22%.

(C) 40%

(D) 68%

(E) 70%.

 5.(UNIFOR-CE) Os editores das revistas fotomania e musical fizeram uma pesquisa entre os 400 alunos de uma escola. A pesquisa revelou que, desses alunos, 210 lêem a revista musical; 190 lêem a revista fotomania e 50 não lêem revista. O número de alunos que lêem a revista:

a) musical é 160

b) fotomania é 150

c) musical é 170

d) fotomania é 130

e) musical é 180

 6. (UEPA) As belezas naturais da cidade de Salinópolis, localizada aproximadamente a 220 km de Belém, estado do Pará, fazem dessa cidade um centro turístico, recebendo milhares de turistas ao ano. Numa pesquisa encomendada por uma empresa de turismo, verificou-se que, dos turistas consultados, 120.000 visitaram a Praia do Atalaia, 80.000 visitaram a Praia do Maçarico, 60.000 visitaram essas duas praias e 10.000 não visitaram nenhum dois dois lugares. O número de turistas consultados foi de:

a) 100.000
b) 150.000
c) 200.000
d) 270.000
e) 370.000

 07.Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o museu de ciências e o museu de história da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de ciência visitaram o de historia e 25% dos que foram ao de historia visitaram também o de ciência. Calcule o número de  alunos que visitaram os dois museus.

 08. (PUC) Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam nem inglês nem espanhol é:

a) 9

b) 17

c) 18

d) 27

e) 89

 09) (CESUPA-PA) Das 3000 famílias moradoras de um conjunto habitacional, 2300 azem ompras no supermercado X  e 1200 fazem compras no supermercado Y. O percentual de famílias que compram apenas no supermercado X é:

a)50%

b)60%

c)70%

d) 80%

 10) (UEPA) “Cabelo e vestuário são ítens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam freqüentar as “baladas” belenenses, é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presentes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais onde acontecem as “baladas” com traje inédio e depois de uma “escova” no cabeleireiro. Pergunta-se: Quantas são as adolescentes consultadas que não se preocupam em ir ao cabeleireiro fazer “escova”, nem em vestir uma roupa inédita?

a)39

b)63

c)102

d)165

e)177

 11. (FAAP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

 12. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?

 13. Dois clubes X e Y possuem um total de 3000 sócios. Sabe-se que 1850 são sócios de X e 2500 são sócios de Y, o número de sócios de X que não são sócios de Y é:

a)350

b) 500

c)1150

d)1350

e)1500

 14. Em um exame de vestibular caíam apenas duas questões e sabe-se que:

 -100 alunos acertaram as duas questões.

-170 alunos acertaram a 1ª questão.

-100alunos acertaram apenas uma das questões.

-95 erraram as duas questões.

Qual o número de alunos que prestaram o exame?

 15. O professor Francisco de Assis realizou uma pesquisa em uma de suas turmas de 1ª série do ensino médio para saber a preferência dos alunos a respeito do tema a ser escolhido para a feira cultural da escola. Assim, apresentou aos alunos dois temas: Cidadania e Meio Ambiente, obtendo os seguintes resultados:

- 40 alunos escolheram Cidadania;

- 25 alunos escolheram Meio Ambiente;

- 10 alunos escolheram ambos os temas;

- 5 alunos não escolheram nenhum dos dois temas.

Desta forma, o número de alunos que escolheu apenas meio ambiente como tema é:

a) 30

b) 35

c) 15

d) 85

e) 5

 16. Foram entrevistadas 50 donas de casa sobre suas preferências em relação a duas marcas A e B de sabão em pó. Os resultados da pesquisa foram precisamente:

- 21 pessoas responderam que usam a marca A.

- 10 pessoas responderam que usam a maracá A e a B.

- 5 pessoas responderam que não usam nenhuma das duas marcas.

De acordo com esses dados, quantas pessoas usam somente a marca B ?

 17. O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando o currículo de 47 candidatos, concluiu que apenas três dos candidatos nunca trabalharam em montagem ou pintura; e que precisamente 32 candidatos já trabalharam em montagem e 29 já trabalharam em pintura. Quantos desses candidatos já travalharam nos dois setores?

 18. Numa festa, 29 pessoas discutiam sobre dois filmes A e B. Precisamente:

-treze pessoas assistiram ao filme A; •

-cinco pessoas assistiram aos dois filmes; •

-seis pessoas não assistiram a nenhum dos dois filmes. •

Quantas pessoas assistiram ao filme B, sabendo que todas as 29 pessoas opinaram?

Intervalos na Reta Real

O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominados intervalos. Estes intervalos são determinados por meio de desigualdades.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[” e “]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[” para indicar o contrário.

 Um intervalo pode ser:   fechado [a, b],   aberto ]a, b[,  fechado à esquerda [a, b[, fechado à direita ]a, b] ou infinito [a, +¥ [ ,  ]a, +¥[ ,  ]-¥, b] ,  ]-¥, b[.

 Representação de um intervalo na reta real

Sejam os números reais a e b, temos os conjuntos:

1 - Intervalo aberto de extremos a e b

 2 - Intervalo fechado de extremos a e b :

3 - Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de extremos a e b :  

4 - Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de extremos a e b :

 Existem, também, os intervalos infinitos. São eles:

5 - Menos infinito e fechado em n

6 - Menos infinito e aberto em n :

 7 - Mais infinito e fechado em n :

8 - Mais infinito e aberto em n

OBSERVAÇÃO:

A bolinha vazia na reta real indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.
A bolinha cheia na reta real indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.

OPERAÇÕES COM INTERVALOS

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A ={x Î R | x < 4} e B = {x Î R | x   2, dois intervalos e vamos determinar          A U B   e    A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

Intervalos Reais – lista 2

 1) Dados os conjuntos A =  [1, 3[  e  B = ]2, 9], os conjuntos A È B, A Ç B são, respectivamente:

a) [1, 9],  ]2, 3[

b) ]1, 9],  ]2, 3[

c) ]1, 9[,  ]2, 3[

d) [1, 9],  ]2, 3]

e) [1, 9],  [2, 3]

 2) Sendo A = {x Î IR; –1 < x £ 3} e B = {x Î IR; 2 < x £ 5}, então:

a) A Ç B = {x Î IR; 2 £ x £ 3}

b) A È B = {x Î IR;–1 < x £ 5}

c) A – B = {x Î IR; –1 < x < 2}

d) B – A = {x Î IR;  3 £ x £ 5} 

 3) Se A = {x ÎIR; –1 < x < 2} e B = {x ÎIR; 0 £  x < 3}, o conjunto A Ç B é o intervalo:

a) [0; 2[           b) ]0; 2[           c) [–1; 3]                     d) ]–1; 3[                     e) ]–1; 3]

 4)  Sejam os intervalos reais A = {x Î IR; 3 £ x £ 7}, B = {x Î IR; –1 < x < 5} e C ={x Î IR; 0 £ x £ 7}. É correto afirmar que:

 a) (A Ç C) – B = A Ç B

b) (A Ç C) – B = C – B

c) (A È B) Ç C = B

d) (A Ç B) Ç C = A

e) A È B È  C = A Ç C  

 5)  Para o intervalo A = [–2, 5], o conjunto A Ç IN* é igual a:

 a) {–2,–1, 1, 2, 3, 4, 5}

b) {1, 2, 3, 4, 5}

c) {1, 5}

d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}

e) ]1, 5]

 6)Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo

  1. {x ÎIR; 1 < x £ 2}
  2. {x Î IR; –2 £ x < 4}
  3. {x Î IR; x > -3}
  4. {x ÎÎ IR; x £ 5}
  5. {x Î IR; x < -1 ou  x > 1} 

Relações e Funções

1.Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais…

Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

Gráfico  dos valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores.

 2. O plano cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo  quadrante Primeiro quadrante
Terceiro quadrante Quarto quadrante 
Quadrante sinal de x sinal de y Ponto
  não tem não tem (0,0)
Primeiro + + (2,4)
Segundo - + (-4,2)
Terceiro - - (-3,-7)
Quarto + - (7,-2)

Exemplo: As coordenadas do ponto G são (0; -1). Dê as coordenadas (x; y) dos demais pontos indicados na figura.

3. PAR ORDENADO

 CONCEITO

Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b).

 DEFINIÇÃO

O par ordenado (a, b) foi definido como {{a}, {a, b}} por K. Kuratowski em 1921. Em 1914 Wiener deu uma definição, historicamente importante, para par ordenado definindo (a, b) como {{a, Æ }, {b, {Æ }}}.

 ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO

Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento, segunda coordenada ou segunda projeção.

 IGUALDADE DE PARES ORDENADOS

Se x e y são pares ordenados (representados não explicitamente), a igualdade x = y significa por definição que a abscissa de x é igual a abscissa de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y. De outro modo, (ab) = (cd) significa por definição que a = c e b = d.

 4.PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

A x B = { (x,y): x in A e y in B }

Observe que AxB neq BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ = Ø = ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

5.Relações no Plano Cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R : AtoB.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

  1. R1={(1,3),(1,4)}
  2. R2={(1,3)}
  3. R3={(2,3),(2,4)}

6. Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:AtoB, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x in A: existe y em B tal que (x,y) in  R}
Im(R)={y in B: existe x in A tal que (x,y) in R}

7.Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

8.Relações Inversas

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) in BxA: (x,y) in R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

1 comentário

  1. vitor Hugo said,

    abril 13, 2010 at 11:13 am

    Prof vc é muito legal e sabe esplicar bem a sua matéria, espero q continuie assim para o resto do ano.
    BejOOos !


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